Cálculo Exemplos

$(2 x - 3 y + 1) d x - (3 x + 2 y - 4) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x - 3 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - 3 y + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 3$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x + 2 y - 4)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (3 x + 2 y - 4)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2 y - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.7

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.8

Some $3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0)$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 3$

Etapa 2.10.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = - 3$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 3 = - 3$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x + 2 y - 4) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int 3 x + 2 y - 4 d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int 3 x d y + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (3 x y + C + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

Etapa 5.4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 \int y d y + \int - 4 d y)$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 4 d y)$

Etapa 5.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 4 y + C)$

Etapa 5.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 4 y + C)$

Etapa 5.8

Simplifique.

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (3 x y + y^{2} - 4 y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y + y^{2} - 4 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.3

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.5

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.6

Como $- 4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$- (3 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.8

Some $3 y$ e $0$ .

$- (3 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.9

Some $3 y$ e $0$ .

$- (3 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.3.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- 3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - 3 y = 2 x - 3 y + 1$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1 + 3 y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 x - 3 y + 1 + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Some $- 3 y$ e $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 + 1$

Etapa 9.1.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x + 1$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 2 x d x + \int d x$

Etapa 10.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (x) = x^{2} + x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + x^{2} + x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - (3 x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$

$f (x, y) = - 3 x y - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$