Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{3 y + 9}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $e^{3 y + 9}$ de $x^{2} e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 3 y + 9$ . Depois, $d u = 3 d y$ , então, $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 3 y + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y + 9$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ como $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{4}{x} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3 (- \frac{4}{x})$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{4}{x}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{3 y + 9})$ movendo $3 y + 9$ para fora do logaritmo.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $3 y + 9$ por $1$ .

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Etapa 3.5

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.3.1

Divida $- 9$ por $3$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$