Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 2 y$

Etapa 1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = e^{3 x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 2 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x + 3 x}$

Etapa 3.3.2

Some $- 2 x$ e $3 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = e^{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = e^{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 2 x} y = \int e^{x} d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{- 2 x} y = e^{x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{- 2 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{- 2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{3 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Divida $e^{3 x}$ por $1$ .

$y = e^{3 x} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$