Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Combine $x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.4.2

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Etapa 4.2

Simplifique $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Etapa 4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Etapa 4.2.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Etapa 4.2.2

Some $- \frac{3}{4}$ e $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $\frac{3}{4}$ aos dois lados da equação.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 4.3.3

Combine $3$ e $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Etapa 4.3.5.2

Some $12$ e $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Etapa 5

Substitua $\frac{15}{4}$ por $C$ em $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $\frac{15}{4}$ por $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique $4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Etapa 5.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$