Cálculo Exemplos

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ por $9 x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ por $9 x y$ .

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $y$ de $8 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $9 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Etapa 1.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.1

Fatore $x$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{9 x y}$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $9 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x}{9 y}$

Etapa 1.2

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{8 y}{9 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{8 y}{9 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{8}{9} + \frac{5 x}{9 y}$

Etapa 1.2.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{8}{9}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5 x}{9 y}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{5 x}{9 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{5 x}{9 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{5}{9}$

Etapa 1.3.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $\frac{5}{9}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Combine $\frac{8}{9}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Etapa 6.1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{V}$

Etapa 6.1.1.1.3

Multiplique $\frac{5}{9}$ por $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} - V \cdot \frac{9}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} + \frac{- V \cdot 9}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V - V \cdot 9}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Fatore $V$ de $8 V - V \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Fatore $V$ de $8 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 - V \cdot 9}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Fatore $V$ de $- V \cdot 9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Fatore $V$ de $V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 9)}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtraia $9$ de $8$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot - 1}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{- 1 \cdot V}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1

Para escrever $- \frac{V}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.2

Multiplique $\frac{V}{9}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V \cdot V}{9 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V \cdot V}{9 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.4

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.4.1

Mova $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - (V \cdot V)}{9 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.4.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V^{2}}{9 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Multiplique $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{9 V}{5 - V^{2}}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} (\frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Multiplique $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Etapa 6.1.4.2

Cancele o fator comum de $9 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.1

Fatore $9 V$ de $9 V x$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V (x)}$

Etapa 6.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Etapa 6.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $5 - V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Como $9$ é constante com relação a $V$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int \frac{V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u = 5 - V^{2}$ . Depois, $d u = - 2 V d V$ , então, $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u = 5 - V^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $5 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [5 - V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - V^{2}$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $5$ em relação a $V$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- V^{2}$ em relação a $V$ é $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Etapa 6.2.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 V$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Subtraia $2 V$ de $0$ .

$- 2 V$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$9 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$9 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$9 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{9}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.9

Simplifique.

$- \frac{9}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - V^{2}$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |)) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 5 - V^{2} |)$ e $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{9}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{9} (- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.3.1

Fatore $9$ de $- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9$ .

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.4.2

Multiplique $\ln (| 5 - V^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique $- \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} \ln (| x |) - \frac{2}{9} C$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Combine $\ln (| x |)$ e $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{2}{9} C$

Etapa 6.3.2.2.1.1.3

Combine $C$ e $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \cdot \ln (| x |)}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$

Etapa 6.3.3

Multiplique cada termo em $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ por $9$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique cada termo em $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ por $9$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9 = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Mova $9$ para a esquerda de $\ln (| 5 - V^{2} |)$ .

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \ln (| x |)}{9}$ para o numerador.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 C}{9}$ para o numerador.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Etapa 6.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Etapa 6.3.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Etapa 6.3.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1

Simplifique $9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1.1.1

Simplifique $9 \ln (| 5 - V^{2} |)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Etapa 6.3.5.1.1.2

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Etapa 6.3.5.1.1.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Etapa 6.3.5.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2}) = - 2 C$

Etapa 6.3.5.1.3

Reordene os fatores em $\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$

Etapa 6.3.6

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9})} = e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.7

Reescreva $\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}$

Etapa 6.3.8

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.1

Reescreva a equação como $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$

Etapa 6.3.8.2

Divida cada termo em $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.2.1

Divida cada termo em $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.2.2.1.2

Divida ${| 5 - V^{2} |}^{9}$ por $1$ .

${| 5 - V^{2} |}^{9} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| 5 - V^{2} | = \sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$

Etapa 6.3.8.4

Simplifique $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.1

Reescreva $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ como $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$

Etapa 6.3.8.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Etapa 6.3.8.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{\sqrt[9]{x^{2}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Etapa 6.3.8.4.3.2

Eleve $\sqrt[9]{x^{2}}$ à potência de $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Etapa 6.3.8.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1 + 8}}$

Etapa 6.3.8.4.3.4

Some $1$ e $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}$ como $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[9]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{9}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{(x^{\frac{2}{9}})}^{9}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{9} \cdot 9}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.3

Combine $\frac{2}{9}$ e $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2 \cdot 9}{9}}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{18}{9}}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.5

Cancele o fator comum de $18$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.3.5.5.1

Fatore $9$ de $18$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9}}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.3.5.5.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 (1)}}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 1}}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 6.3.8.4.3.5.5.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}$ como $\sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{2 \cdot 8}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.4.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{16}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.4.3

Fatore $x^{9}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{9} x^{7}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} x \sqrt[9]{x^{7}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.4.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.1.1

Fatore $x$ de $x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Etapa 6.3.8.4.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Etapa 6.3.8.4.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Etapa 6.3.8.4.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$

Etapa 6.3.8.4.5.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Etapa 6.3.8.5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$5 - V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Etapa 6.3.8.6

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$

Etapa 6.3.8.7

Divida cada termo em $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.7.1

Divida cada termo em $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.8.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.8.7.2.2

Divida $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.8.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.8.7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.7.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.8.7.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ como $- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.3.8.7.3.1.3

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5$

Etapa 6.3.8.8

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$