Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $e^{2 y}$ de $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $e^{3 x - 2 y}$ por $e^{2 y}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Etapa 1.2.2.2

Combine os termos opostos em $3 x - 2 y + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Etapa 1.2.2.2.2

Some $3 x$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{2 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u_{1} = - 2 y$ . Depois, $d u_{1} = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u_{1} = - 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $- 2$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{- 2 y})$ movendo $- 2 y$ para fora do logaritmo.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$