Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $1 - y$ .

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.6

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $\frac{x^{3}}{3}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

Etapa 3.3.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $6$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{2}}{2}$ para o numerador.

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.4

Reescreva a expressão.

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{3}}{3}$ para o numerador.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.3

Cancele o fator comum.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.4

Reescreva a expressão.

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $6 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

Etapa 3.4.4

Reordene $- 3 y^{2}$ e $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 6$ e $c = - 2 x^{3} - 6 K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 6$ por $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.6

Fatore $12$ de $36 - 24 x^{3} - 72 K$ .

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Etapa 3.7.1.6.1

Fatore $12$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.6.2

Fatore $12$ de $- 24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.6.3

Fatore $12$ de $- 72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.6.4

Fatore $12$ de $12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.6.5

Fatore $12$ de $12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.7

Reescreva $12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ como $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ .

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Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.7.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$