Cálculo Exemplos

$\frac{d u}{d t} = e^{4 u + 6 t}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{4 u + 6 t}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{4 u + 6 t}$ .

$\frac{d u}{d t} = v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d t}$ ao diferenciar $e^{4 u + 6 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 u + 6 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 u + 6 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 u + 6 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 u + 6 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Etapa 2.3

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 u$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d t} [u]$ como $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + \frac{d}{d t} [6 t])$

Etapa 2.5

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \cdot 1)$

Etapa 2.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6)$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{4 u + 6 t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (4 u' + 6)$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} - \frac{3}{2} = v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Some $\frac{3}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} = v + \frac{3}{2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $4 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v) = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Simplifique $\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 v$ .

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d t} = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique $(v + \frac{3}{2}) (4 v)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v (4 v) + \frac{3}{2} (4 v)$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (4 v)$

Etapa 5.1.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.3.1

Fatore $2$ de $4 v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

Etapa 5.1.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

Etapa 5.1.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 3 (2 v)$

Etapa 5.1.3.2.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 6 v$

Etapa 5.1.3.2.1.5

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.5.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 (v \cdot v) + 6 v$

Etapa 5.1.3.2.1.5.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v^{2} + 6 v$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{4 v^{2} + 6 v}$ .

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $4 v^{2} + 6 v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = 1 d t$

Etapa 6

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = \int d t$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $2 v$ de $4 v^{2} + 6 v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Fatore $2 v$ de $4 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v (2 v) + 6 v}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Fatore $2 v$ de $6 v$ .

$\frac{1}{2 v (2 v) + 2 v \cdot 3}$

Etapa 6.2.1.1.1.3

Fatore $2 v$ de $2 v (2 v) + 2 v \cdot 3$ .

$\frac{1}{2 v (2 v + 3)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $2 v (2 v + 3)$ .

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.6

Cancele o fator comum de $2 v + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.7.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.1.2

Divida $A (2 (2 v + 3))$ por $1$ .

$1 = A (2 (2 v + 3)) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 A (2 v + 3) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 2 A (2 v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.7

Cancele o fator comum de $2 v + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.7.7.1

Cancele o fator comum.

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.1.7.7.2

Divida $B (2 v)$ por $1$ .

$1 = 4 A v + 6 A + B (2 v)$

Etapa 6.2.1.1.7.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 4 A v + 6 A + 2 B v$

Etapa 6.2.1.1.8

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.8.1

Mova $A$ .

$1 = 4 v A + 6 A + 2 B v$

Etapa 6.2.1.1.8.2

Mova $B$ .

$1 = 4 v A + 6 A + 2 v B$

Etapa 6.2.1.1.8.3

Mova $6 A$ .

$1 = 4 v A + 2 v B + 6 A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 4 A + 2 B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 6 A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = 6 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $6 A = 1$ .

$6 A = 1$

$0 = 4 A + 2 B$

Etapa 6.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $6 A = 1$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $6 A = 1$ por $6$ .

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{6}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 4 A + 2 B$ por $\frac{1}{6}$ .

$0 = 4 (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$0 = 2 (2) (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.2.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = \frac{2}{3} + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{3} + 2 B = 0$ .

$\frac{2}{3} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Subtraia $\frac{2}{3}$ dos dois lados da equação.

$2 B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3

Divida cada termo em $2 B = - \frac{2}{3}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = - \frac{2}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$B = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$B = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$B = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$B = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{6 v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 v + 3}$

Etapa 6.2.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{2 v + 3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{(2 v + 3) \cdot 3}$

Etapa 6.2.1.5.5

Mova $3$ para a esquerda de $2 v + 3$ .

$\int \frac{1}{6 v} - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{6 v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Etapa 6.2.3

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Etapa 6.2.4

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Etapa 6.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Etapa 6.2.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{2 v + 3} d v) = \int d t$

Etapa 6.2.7

Deixe $u_{2} = 2 v + 3$ . Depois, $d u_{2} = 2 d v$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.2.7.1

Deixe $u_{2} = 2 v + 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Etapa 6.2.7.1.1

Diferencie $2 v + 3$ .

$\frac{d}{d v} [2 v + 3]$

Etapa 6.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 v + 3$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$

Etapa 6.2.7.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

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Etapa 6.2.7.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2 v$ em relação a $v$ é $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$

Etapa 6.2.7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [3]$

Etapa 6.2.7.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [3]$

Etapa 6.2.7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.2.7.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $3$ em relação a $v$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 6.2.7.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 6.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.8

Simplifique.

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Etapa 6.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

Etapa 6.2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.10.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Etapa 6.2.12

Simplifique.

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

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Etapa 7.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Etapa 7.1.1.2

Combine $\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ por $6$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ por $6$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{6}$ para o numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Mova $6$ para a esquerda de $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 \cdot t + C \cdot 6$

Etapa 7.2.3.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 t + 6 C$

Etapa 7.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$

Etapa 7.4

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{6 t + 6 C}$

Etapa 7.5

Reescreva $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{6 t + 6 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Etapa 7.6

Resolva $v$ .

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Etapa 7.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$

Etapa 7.6.2

Multiplique os dois lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.6.3.1

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

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Etapa 7.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| v | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.4

Resolva $v$ .

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Etapa 7.6.4.1

Reordene os fatores em $e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

Etapa 7.6.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 8.1

Simplifique a constante de integração.

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + C}$

Etapa 8.2

Reescreva $e^{6 t + C}$ como $e^{6 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{6 t} e^{C})$

Etapa 8.3

Reordene $e^{6 t}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{6 t})$

Etapa 8.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C | u_{2} | e^{6 t}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{4 u + 6 t}$ .

$e^{4 u + 6 t} = C | u_{2} | e^{6 t}$