Cálculo Exemplos

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 2 x e^{- y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Etapa 1.2.2

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x e^{- y}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Etapa 1.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Etapa 1.3.7

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Etapa 1.3.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Subtraia $2 x e^{- y}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores de $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Etapa 1.4.3

Reordene os fatores em $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $e^{- y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{- y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 x e^{- y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2 x e^{- y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $M$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Etapa 4.3.3

Substitua $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int d y}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{y}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $e^{x} + 2 x e^{- y}$ por $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $e^{- y}$ por $e^{y}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Mova $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Subtraia $y$ de $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.5

Simplifique $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $e^{x} + e^{- y}$ por $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.9

Multiplique $e^{- y}$ por $e^{y}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.9.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Etapa 6.9.2

Some $- y$ e $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Etapa 6.10

Simplifique $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Etapa 8.2

Deixe $u = x + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.2.1

Deixe $u = x + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Diferencie $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 8.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 8.2.1.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 8.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 8.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 8.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Etapa 8.3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Etapa 8.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + y} + y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Etapa 11.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 11.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.5

Some $1$ e $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.3.6

Multiplique $e^{x + y}$ por $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Some $e^{x + y}$ e $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 11.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $e^{x + y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Subtraia $e^{x + y}$ de $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $2 x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Etapa 13.5.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$