Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

Etapa 1.2

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.2.1

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 1.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 1.3

Combine $\sqrt{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 1.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 1.5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 1.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.7.2

Simplifique.

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Etapa 1.7.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.7.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 1.7.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 1.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 3.3.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.3.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.3.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 3.3.3.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Combine ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.8

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.9.1

Simplifique.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.9.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.9.2.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $30$ .

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Etapa 3.3.9.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.9.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.9.2.3.2.1

Fatore $2$ de $30$ .

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.9.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.9.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$