Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Etapa 2

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Divida a fração $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Etapa 2.1.2

Subtraia $\frac{x y}{x^{17}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Etapa 2.2

Reescreva a equação com coeficientes isolados.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 2.3

Fatore $y$ de $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 2.4

Reordene $y$ e $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 3

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Etapa 3.2

Integre $- \frac{x}{x^{17}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{17}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Etapa 3.2.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Etapa 3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Etapa 3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Etapa 3.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Etapa 3.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Mova $x^{16}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Etapa 3.2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{16})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Etapa 3.2.3.2.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Etapa 3.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 16}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1.1

Combine $x^{- 15}$ e $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Etapa 3.2.5.1.2

Mova $x^{- 15}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Etapa 3.2.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{15 x^{15}}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Etapa 3.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Etapa 4

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{17}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{x^{16}}$ e $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{y}{x^{16}}$ e $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{17}$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $x$ de $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Etapa 4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Etapa 4.6

Combine $\frac{16 f}{x^{16}}$ e $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Etapa 5

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Etapa 6

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Etapa 7

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Etapa 8

Integre o lado direito.

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Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Etapa 8.2

Como $16 f$ é constante com relação a $x$ , mova $16 f$ para fora da integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Etapa 8.3

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Etapa 8.4

Deixe $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , então, $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.4.1

Deixe $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.4.1.1

Diferencie $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Etapa 8.4.1.2

Como $\frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{15 x^{15}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Etapa 8.4.1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.4.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{15}}$ como ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Etapa 8.4.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{15})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Etapa 8.4.1.3.2.2

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Etapa 8.4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Etapa 8.4.1.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.5.1

Combine $- 15$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Etapa 8.4.1.5.2

Combine $\frac{- 15}{15}$ e $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Etapa 8.4.1.5.3

Mova $x^{- 16}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Etapa 8.4.1.5.4

Cancele o fator comum de $- 15$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.5.4.1

Fatore $15$ de $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Etapa 8.4.1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.5.4.2.1

Fatore $15$ de $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Etapa 8.4.1.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Etapa 8.4.1.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Etapa 8.4.1.5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Etapa 8.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Etapa 8.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Etapa 8.6

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Etapa 8.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Etapa 8.8

Simplifique.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Etapa 8.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Etapa 9

Divida cada termo em $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ por $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida cada termo em $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ por $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Etapa 9.3.1.2

Divida $16 f$ por $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$