Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $3 y + x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Etapa 1.1.2

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

Etapa 1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 3 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $y$ por $3 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $x - 4 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

Etapa 1.2.3

Fatore $x$ de $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

Etapa 1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $x$ por $1 - 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{1 - 4 y}{y}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{y}{1 - 4 y}$ por $\frac{3 + x^{2}}{x}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $1 - 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $1 - 4 y$ de $(1 - 4 y) x$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Divida $- 4$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Etapa 2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Etapa 2.3.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Etapa 2.3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Etapa 2.3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Etapa 2.3.3.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$