Cálculo Exemplos

$(3 x + y) d x - x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x + y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Etapa 1.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- x$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- x$ por $N$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 x + y) d x - x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x + y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $3 x + y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{3 x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3 x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Etapa 8.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{y}{x} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y}{x}$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{3 x + y}{x^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{3 x + y}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{3 x + y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (3 x + y)}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (3 x) - y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - 3 x - y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $y - 3 x - y$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1.1.5.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{3}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{3}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 13.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 13.5

Simplifique.

$g (x) = 3 \ln (| x |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + 3 \ln (| x |) + C$

Etapa 15

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \ln ({| x |}^{3}) + C$