Cálculo Exemplos

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + 2 t$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Etapa 2.4

Como $2 t$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 t$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Etapa 2.5

Some $3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Etapa 3.2

Como $3 y^{2} t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2} t$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 0$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 y^{2} = 0$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $3 y^{2} t$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $3 y^{2} t$ por $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + 0$ e $3$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $3$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $3$ de $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.4.1

Fatore $3$ de $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Etapa 5.3.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Etapa 5.3.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Etapa 5.3.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{t}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{t}$ e $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ pelo fator de integração $e^{\frac{x}{t}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y^{3} + 2 t$ por $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $3 y^{2} t$ por $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $3 t e^{\frac{x}{t}}$ é constante com relação a $y$ , mova $3 t e^{\frac{x}{t}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.2

Combine $\frac{3}{3}$ e $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.3

Combine $\frac{3 t}{3}$ e $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.4.2

Divida $t e^{\frac{x}{t}}$ por $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $t y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ em relação a $x$ é $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{t}$ .

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Etapa 12.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.3

Como $\frac{1}{t}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{t}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique $\frac{1}{t}$ por $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.6

Combine $e^{\frac{x}{t}}$ e $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.7

Combine $t$ e $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.8

Combine $y^{3}$ e $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.9

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 12.3.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.3.9.2

Divida $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ por $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 12.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

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Etapa 13.1.2.1

Subtraia $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ de $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Etapa 13.1.2.2

Some $2 t e^{\frac{x}{t}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $2 t e^{\frac{x}{t}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Etapa 14.3

Como $2 t$ é constante com relação a $x$ , mova $2 t$ para fora da integral.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Etapa 14.4

Deixe $u = \frac{x}{t}$ . Depois, $d u = \frac{1}{t} d x$ , então, $t d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 14.4.1

Deixe $u = \frac{x}{t}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 14.4.1.1

Diferencie $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Etapa 14.4.1.2

Como $\frac{1}{t}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{t}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Etapa 14.4.1.4

Multiplique $\frac{1}{t}$ por $1$ .

$\frac{1}{t}$

Etapa 14.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Etapa 14.5

Simplifique.

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Etapa 14.5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Etapa 14.5.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Etapa 14.6

Como $t$ é constante com relação a $u$ , mova $t$ para fora da integral.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Etapa 14.7

Simplifique.

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Etapa 14.7.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Etapa 14.7.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Etapa 14.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Etapa 14.7.4

Some $1$ e $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Etapa 14.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Etapa 14.9

Simplifique.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Etapa 14.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Etapa 16

Reordene os fatores em $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$