Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- 7 y + 4}$ .

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 7 y + 4} \cdot \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique $\frac{1}{- 7 y + 4}$ por $\frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$ .

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $- 7 y + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 x - 7}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- 7 y + 4} d y = \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- 7 y + 4} d y = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = - 7 y + 4$ . Depois, $d u_{1} = - 7 d y$ , então, $- \frac{1}{7} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = - 7 y + 4$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $- 7 y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [- 7 y + 4]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 y + 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 7 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 7 y$ em relação a $y$ é $- 7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$- 7 + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$- 7 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $- 7$ e $0$ .

$- 7$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{7}) d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $7$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{7} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{7} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 7 y + 4$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 6 x - 7$ . Depois, $d u_{2} = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 6 x - 7$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $6 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Mova $6$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x - 7$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |)) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| - 7 y + 4 |)$ e $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}$ para o numerador.

$- 7 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $7$ de $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$7 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| - 7 y + 4 |)$ por $1$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $\ln (| 6 x - 7 |)$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{6}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + C \cdot 6}{6}$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $6$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$

Etapa 3.2.2.1.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.5.1

Combine $- 7$ e $\frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{- 7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - 7 y + 4 |)} = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} = | - 7 y + 4 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$ .

$| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- 7 y + 4 = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{- 4}{- 7}$

Etapa 3.5.4.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{4}{7}$

Etapa 3.5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} + 4}{7}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + C)}{6}} + 4}{7}$