Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.5

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.5.2

Fatore $e^{r x}$ de $4 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.5.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.5.4

Fatore $e^{r x}$ de $- 2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.5.5

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 2.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} = - 3 x + 6$

Etapa 3.1.1.2

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x = 6$

Etapa 3.1.1.3

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x - 6 = 0$

Etapa 3.1.2

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x^{2} + 3 x - 8 = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 2 x^{2} + 3 x - 8$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Some $16$ e $32$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6

Fatore $4$ de $8 x^{2} - 12 x + 48$ .

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Etapa 3.4.1.6.1

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6.2

Fatore $4$ de $- 12 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6.3

Fatore $4$ de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6.4

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.5.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Some $16$ e $32$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6

Fatore $4$ de $8 x^{2} - 12 x + 48$ .

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Etapa 3.5.1.6.1

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6.2

Fatore $4$ de $- 12 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6.3

Fatore $4$ de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6.4

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 3.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Some $16$ e $32$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Fatore $4$ de $8 x^{2} - 12 x + 48$ .

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Etapa 3.6.1.6.1

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6.2

Fatore $4$ de $- 12 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6.3

Fatore $4$ de $48$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6.4

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x}$