Cálculo Exemplos

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ .

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $500 - 0.12 P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 500 - 0.12 P$ . Depois, $d u = - 0.12 d P$ , então, $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 500 - 0.12 P$ . Encontre $\frac{d u}{d P}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $500 - 0.12 P$ .

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $500 - 0.12 P$ com relação a $P$ é $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $500$ é constante em relação a $P$ , a derivada de $500$ em relação a $P$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 0.12$ é constante em relação a $P$ , a derivada de $- 0.12 P$ em relação a $P$ é $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ .

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ é $n P^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 0.12 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 0.12$ por $1$ .

$0 - 0.12$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $0.12$ de $0$ .

$- 0.12$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{0.12}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.3

Mova $0.12$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{0.12}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.12}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Reescreva $- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ como $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $8.\overline{3}$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $500 - 0.12 P$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ por $- 8.\overline{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ por $- 8.\overline{3}$ .

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 8.\overline{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 500 - 0.12 P |)$ por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.3

Fatore $8.\overline{3}$ de $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.4

Separe as frações.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.5

Divida $1$ por $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.6

Divida $t$ por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.7

Multiplique $0.12$ por $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.9

Multiplique por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

Etapa 3.1.3.1.10

Fatore $8.\overline{3}$ de $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

Etapa 3.1.3.1.11

Separe as frações.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

Etapa 3.1.3.1.12

Divida $1$ por $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

Etapa 3.1.3.1.13

Divida $C$ por $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

Etapa 3.1.3.1.14

Multiplique $0.12$ por $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

Etapa 3.2

Para resolver $P$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

Etapa 3.4

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ .

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $500$ dos dois lados da equação.

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ por $- 0.12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ por $- 0.12$ .

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $P$ por $1$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Fatore $0.12$ de $0.12$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3.1.4

Separe as frações.

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3.1.5

Divida $1$ por $0.12$ .

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3.1.6

Divida $\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ por $1$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

Etapa 3.4.4.3.1.7

Divida $- 500$ por $- 0.12$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- 0.12 t + C}$ como $e^{- 0.12 t} e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- 0.12 t}$ e $e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$