Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Etapa 1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 1.4.5

Divida $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{2}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{2}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{2}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Etapa 6

Substitua $2 v v'$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{2}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Divida cada termo em $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Divida cada termo em $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.2.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $v^{2}$ e $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.3.1

Fatore $v$ de $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.3.2.1

Fatore $v$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Combine $\frac{- 2}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 v}{x}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.7.2

Fatore $2$ de $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Etapa 7.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Etapa 7.1.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Etapa 7.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Simplifique.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Etapa 7.1.1.3.4

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

Integre $- \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 7.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 7.2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.1

Multiplique $\frac{v}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Etapa 7.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Etapa 7.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Etapa 7.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Etapa 7.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Etapa 7.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Etapa 7.7.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Etapa 7.8

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Etapa 7.8.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Etapa 7.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Etapa 7.8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = (x^{2} + C) x$

Etapa 7.8.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.2.1

Simplifique $(x^{2} + C) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = x^{2} x + C x$

Etapa 7.8.3.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.2.1.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.2.1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Etapa 7.8.3.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Etapa 7.8.3.2.1.2.2

Some $2$ e $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Etapa 8

Substitua $y^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$