Cálculo Exemplos

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva a equação como $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ .

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

Etapa 1.1.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Combine.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

Etapa 1.1.3.3.1.7

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.4.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.9

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

Etapa 2.3.10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

Etapa 2.3.11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

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Etapa 2.3.12.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.12.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.12.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.12.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$