Cálculo Exemplos

$y (x^{2} - 1) d y - x (y^{2} - 1) d x = 0$

Etapa 1

Some $x (y^{2} - 1) d x$ aos dois lados da equação.

$y (x^{2} - 1) d y = x (y^{2} - 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} - 1$ de $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{y^{2} - 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $y^{2} - 1$ de $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{2} - 1$ de $x (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x^{2} - 1} x d x$

Etapa 3.5

Combine $\frac{1}{x^{2} - 1}$ e $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Etapa 3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Depois, $d u_{1} = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y + 1$ e $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.4.2

Multiplique $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 4.2.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 4.2.1.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Etapa 4.2.1.1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.2

Multiplique $y - 1$ por $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.3

Some $y$ e $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Etapa 4.2.1.1.3.8.4.2

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Deixe $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Deixe $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.1

Diferencie $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Etapa 4.3.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.1.1.3.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.1.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.3.1.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Etapa 4.3.1.1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 4.3.1.1.3.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Etapa 4.3.1.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Etapa 4.3.1.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.3.1.1.3.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Some $- y$ e $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x^{2} - 1 |)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

Etapa 5.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.3

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4.2

Some $- y$ e $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.4.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.5.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

Etapa 5.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

Etapa 5.6.3

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

Etapa 5.6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

Etapa 5.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4.2

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.4.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Etapa 5.6.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

Etapa 5.6.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

Etapa 5.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{2 C}$

Etapa 5.8

Reescreva $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Etapa 5.9

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Reescreva a equação como $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$

Etapa 5.9.2

Multiplique os dois lados por $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1

Simplifique $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $| (x + 1) (x - 1) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.2

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.1.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3.2

Some $- y$ e $y$ .

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.1.1.3.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.2.1

Simplifique $e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.2.1.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Etapa 5.9.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.3.2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Etapa 5.9.3.2.1.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

Etapa 5.9.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.4.1

Reordene os fatores em $e^{2 C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

Etapa 5.9.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

Etapa 5.9.4.3

Reordene os fatores em $\pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$ .

$y^{2} - 1 = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

Etapa 5.9.4.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

Etapa 5.9.4.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$