Cálculo Exemplos

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Etapa 1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Etapa 1.3.1.2

Divida $2 e^{- \frac{y}{x}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V + 2 e^{- V} - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $2 e^{- V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{- V}$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- V}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2.1.2

Multiplique $- V \cdot - 1$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $V$ por $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $e^{V}$ por $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $e^{V}$ com relação a $V$ é $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Etapa 6.3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Expanda $\ln (e^{V})$ movendo $V$ para fora do logaritmo.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Etapa 6.3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Etapa 6.3.2.3

Multiplique $V$ por $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Etapa 6.3.3

Expanda $\ln (x^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Etapa 6.3.4

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$