Cálculo Exemplos

$2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ por $2 y \sqrt{x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ por $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.3.1

Multiplique $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.2

Mova $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.4

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.7

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3.7.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.6.2

Mova $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Etapa 1.1.3.1.6.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Etapa 1.1.3.1.6.4

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Etapa 1.1.3.1.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.1.3.1.6.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.6.7

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.6.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.6.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.3.1.6.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.6.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.6.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.1.3.1.6.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{1}}$

Etapa 1.1.3.1.6.7.5

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

Etapa 1.2.2

Para escrever $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 x y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{y x \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3

Reordene os fatores de $y x \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $\sqrt{x}$ de $y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Fatore $\sqrt{x}$ de $y \sqrt{x} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Etapa 1.2.5.1.2

Fatore $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)}{2 x y}$

Etapa 1.2.5.1.3

Fatore $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y + 2)}{2 x y}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{y^{2} + 2}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} (\frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{2 x}$ por $\frac{y^{2} + 2}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y^{2} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $y^{2} + 2$ de $\sqrt{x} (y^{2} + 2)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = y^{2} + 2$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = x^{\frac{1}{2}} + C$