Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (x e^{x})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (x e^{x})$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{2 x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Mova $e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x} e^{2 x} x$

Etapa 2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x + 2 x} x$

Etapa 2.3.3

Some $x$ e $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{3 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{3 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{3 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int x e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 6.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Etapa 6.4

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.4.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.4.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 6.4.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 6.4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 6.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 6.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 6.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Etapa 6.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Etapa 6.9

Reescreva $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Etapa 6.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $\frac{1}{3} x e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{3} x e^{x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{3} x e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{3} e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Combine $\frac{x}{3}$ e $e^{x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 7.3.1.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $- \frac{1}{9} e^{3 x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2.4

Divida $- \frac{1}{9} e^{x}$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 7.3.1.4

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{e^{x}}{9} + \frac{C}{e^{2 x}}$