Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Etapa 1.2

Como $\frac{1}{x^{2}}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2} y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Etapa 1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Etapa 1.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Etapa 1.6

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $y$ é $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.7

Simplifique os termos.

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Etapa 1.7.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.7.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Etapa 1.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y - x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 1 = - 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = y - x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Etapa 5.4

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Subtraia $y$ de $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Etapa 9.1.1.1

Reescreva.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 9.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Etapa 9.1.1.3

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Etapa 9.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.2.2.1

Divida a fração $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Etapa 9.1.2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 9.1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Etapa 9.1.2.2.2.1.2

Divida $- 1 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Etapa 9.1.2.2.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Etapa 9.1.2.3

Combine os termos opostos em $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

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Etapa 9.1.2.3.1

Some $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 9.1.2.3.2

Some $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x^{2}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 10.3

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 10.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 10.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 10.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Etapa 10.6

Reescreva $- x^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$