Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{x + y}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{x} + \frac{y}{x})$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x} - \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.3

Some $\frac{y}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = - \frac{x}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = - \frac{x}{x}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = - \frac{x}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (- \frac{x}{x})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (- \frac{x}{x})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $- x$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = - x$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = - x$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int - x d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int - x d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x y = - \int x d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 7.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.1.2.5

Divida $- \frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$