Cálculo Exemplos

$\frac{1}{y} d x + 3 y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $\frac{1}{y} d x$ dos dois lados da equação.

$3 y d y = - \frac{1}{y} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y (3 y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y \cdot y d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1

Mova $y$ .

$3 (y \cdot y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y^{2} d y = - y \frac{1}{y} d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 3 y^{2} d y = \int - 1 d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int y^{2} d y = \int - 1 d x$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - 1 d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Etapa 4.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Etapa 4.2.3.2.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Etapa 4.3

Aplique a regra da constante.

$y^{3} + C_{1} = - x + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{3} = - x + K$

Etapa 5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- x + K}$