Cálculo Exemplos

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y^{2} - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y^{2}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6

Some $4 x y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

Etapa 1.9

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.9.1

Multiplique $2 x y^{2} - 3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

Etapa 1.9.2

Some $4 x y^{2}$ e $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

Etapa 1.9.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $6 y^{2} x - 3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $6 y^{2} x - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{2} x - 3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

Etapa 5.3

Como $2 y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ .

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Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ .

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} x^{2} - 3 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.5

Como $- 3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.8

Some $2 x^{2} y$ e $0$ .

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.9

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.10

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.12

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.13

Multiplique $y^{2} x^{2} - 3 x$ por $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.14

Some $2 x^{2} y^{2}$ e $y^{2} x^{2}$ .

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Etapa 8.3.14.1

Reordene $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.3.14.2

Some $2 x^{2} y^{2}$ e $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $3 x^{2} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 9.1.2

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

Etapa 9.1.3.2

Some $- 3 x + 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

Etapa 9.1.3.3

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $4 y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Etapa 10.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (y) = 4 \int y d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Etapa 12.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.1

Mova $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 12.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Etapa 12.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Etapa 12.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Etapa 12.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$