Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int x d x}$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Etapa 2.2

Reordene os fatores em $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Depois, $d u_{1} = x d x$ , então, $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 6.1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 6.1.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Etapa 6.1.1.4.2

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Etapa 6.1.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2}$

Etapa 6.1.1.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$x$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = e^{u_{1}}$ e $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.4

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.3.5

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ para fora da integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 6.5.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.5.4

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.6

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Reescreva $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ como $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 6.7.2

Simplifique.

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Etapa 6.7.2.1

Subtraia $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ de $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Etapa 6.7.2.2

Some $0$ e $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

Etapa 9

Defina o numerador como igual a zero.

$C = 0$

Etapa 10

Substitua $0$ por $C$ em $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $0$ por $C$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 10.2

Divida $0$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$