Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 y + x + x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (2 + 2 y) + x + x y$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 2 (1 + y) + x \cdot (1 + y)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + y) (2 + x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (2 + x))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (2 + x))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = 2 + x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 + y} d y = (2 + x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int 2 + x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int 2 d x + \int x d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C} = | 1 + y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C} - 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} e^{C} - 1$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} - 1$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} - 1$