Cálculo Exemplos

$x d x - 4 y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x d x$ dos dois lados da equação.

$- 4 y d y = - x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante com relação a $y$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Multiplique $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 3.1.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.4.2

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.4.3

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

Etapa 3.1.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ .

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Etapa 3.3.1

Para escrever $- \frac{K}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

Etapa 3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

Etapa 3.3.5

Reescreva $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x^{2} - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

Etapa 3.3.5.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.3.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

Etapa 3.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Etapa 3.3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$