Cálculo Exemplos

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.5

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Some $6 y + 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x y + x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $x$ é $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.4.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $6 y + 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x + 6 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 6 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Etapa 5.3

Como $2 y$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

Etapa 5.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.8

Simplifique.

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Etapa 5.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.8.2

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.8.3.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2} x$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.5

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.7

Simplifique.

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Etapa 8.7.1

Some $6 x y + x^{2}$ e $0$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 8.7.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $6 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

Etapa 9.1.3.2

Some $6 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $6 x y$ de $6 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Etapa 9.1.3.4

Some $0$ e $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $3$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

$g (y) = 3 y + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$