Cálculo Exemplos

$4 (y d) x + 3 x d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $4 y d x$ dos dois lados da equação.

$3 x d y = - 4 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Etapa 3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3}{y} d y = - 4 \frac{1}{x y} y d x$

Etapa 3.5

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x y} y d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{4}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{4}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 4 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $3 \ln (| y |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique $4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = C$

Etapa 5.2.1.1.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{4}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{4}) = C$

Etapa 5.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln ({| y |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{4} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{4} {| y |}^{3}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ por $x^{4}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida ${| y |}^{3}$ por $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Etapa 5.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reescreva $\frac{e^{C}}{x^{4}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}$ .

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Etapa 5.5.4.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{3}$ de $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{4}}}$

Etapa 5.5.4.1.2

Fatore a potência perfeita $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}}$

Etapa 5.5.4.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}$ .

$| y | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}}$

Etapa 5.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$

Etapa 5.5.4.3

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| y | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 5.5.4.4

Combine.

$| y | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Etapa 5.5.4.5

Multiplique $\sqrt[3]{e^{C}}$ por $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Etapa 5.5.4.6

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.4.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.7.2

Mova $\sqrt[3]{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Etapa 5.5.4.7.3

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Etapa 5.5.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.5.4.7.5

Some $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 5.5.4.7.6

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 5.5.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.5.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.5.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.5.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Etapa 5.5.4.7.6.5

Simplifique.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Etapa 5.5.4.8

Multiplique $x$ por $x$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.9

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.10

Combine usando a regra do produto para radicais.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.11

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}}$