Cálculo Exemplos

Solve the differential equation: $x \frac{d y}{d x} + y = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2} + 3 x$ e $d v = e^{\frac{2}{3} x}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

Etapa 5.3

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x)$

Etapa 5.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) d x$

Etapa 5.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = 2 x + 3$ e $d v = e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

Etapa 5.6.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

Etapa 5.6.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2 d x)$

Etapa 5.6.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 d x)$

Etapa 5.6.5

Combine $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ e $2$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2}{2} d x)$

Etapa 5.6.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} d x)$

Etapa 5.6.7

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 5.6.7.1

Fatore $2$ de $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} d x)$

Etapa 5.6.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} d x)$

Etapa 5.6.7.2.2

Cancele o fator comum.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} d x)$

Etapa 5.6.7.2.3

Reescreva a expressão.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} d x)$

Etapa 5.6.7.2.4

Divida $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ por $1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int 3 e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

Etapa 5.7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x))$

Etapa 5.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

Etapa 5.9

Deixe $u = \frac{2 x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{2}{3} d x$ , então, $\frac{3}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.9.1

Deixe $u = \frac{2 x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.9.1.1

Diferencie $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Etapa 5.9.1.2

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 5.9.1.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 5.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u)$

Etapa 5.10

Simplifique.

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Etapa 5.10.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{2}{3}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u)$

Etapa 5.10.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{3}{2} d u)$

Etapa 5.10.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{3}{2}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u)$

Etapa 5.10.4

Mova $3$ para a esquerda de $e^{u}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{3 e^{u}}{2} d u)$

Etapa 5.11

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 (\frac{3}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 5.12

Simplifique.

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Etapa 5.12.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 5.12.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 5.12.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 5.13

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$

Etapa 5.14

Simplifique.

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Etapa 5.14.1

Reescreva $(x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$ como $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$

Etapa 5.14.2

Simplifique.

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Etapa 5.14.2.1

Combine $e^{u}$ e $\frac{9}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{e^{u} \cdot 9}{2}) + C$

Etapa 5.14.2.2

Mova $9$ para a esquerda de $e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 \cdot e^{u}}{2}) + C$

Etapa 5.14.2.3

Para escrever $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

Etapa 5.14.2.4

Combine $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} (\frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

Etapa 5.14.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.6

Combine $2$ e $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.8

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 5.14.2.8.1

Fatore $2$ de $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.14.2.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.8.2.4

Divida $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ por $1$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) (3 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.9

Mova $3$ para a esquerda de $2 x + 3$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2} + C$

Etapa 5.14.2.10

Multiplique $\frac{3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 5.14.2.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{4} + C$

Etapa 5.14.2.12

Mova $3$ para a esquerda de $3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3 \cdot (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Etapa 5.14.2.13

Para escrever $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Etapa 5.14.2.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.14.2.14.1

Multiplique $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Etapa 5.14.2.14.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{4} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Etapa 5.14.2.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2 - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Etapa 5.14.2.16

Multiplique $2$ por $3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Etapa 5.15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x}{3}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

Etapa 5.16

Simplifique.

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Etapa 5.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

Etapa 5.16.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

Etapa 5.16.3

Multiplique $- 9$ por $- 3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

Etapa 5.16.4

Reordene os fatores em $- 9 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

Etapa 5.17

Reordene os termos.

$x y = \frac{9}{2} x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{1}{4} (x^{2} (6 e^{\frac{2}{3} x}) - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6

Resolva $y$ .

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Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2}{3} x} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.6

Multiplique $3$ por $- 9$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.7

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Etapa 6.1.1.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}) + C$

Etapa 6.1.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Some $- 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ e $27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x + 0) + C$

Etapa 6.1.2.2

Some $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ e $0$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.4.2

Fatore $2$ de $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.4.4

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2} (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.5

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3}{2} (x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.6

Combine $x^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.7

Combine $\frac{x^{2} \cdot 3}{2}$ e $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.8.2

Fatore $2$ de $- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

Etapa 6.1.8.3

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

Etapa 6.1.8.4

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.9

Combine $- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} (e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Etapa 6.1.10

Combine $e^{\frac{2 x}{3}}$ e $\frac{- 9}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2} x + C$

Etapa 6.1.11

Combine $\frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2}$ e $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

Etapa 6.1.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.12.1

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 \cdot x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

Etapa 6.1.12.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9 \cdot e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

Etapa 6.1.12.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

Etapa 6.1.13

Reordene os fatores em $\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

Etapa 6.1.14

Remova os parênteses.

$x y = \frac{9}{2} \cdot x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $\frac{9}{2} (x e^{\frac{2 x}{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.2.1

Combine $x$ e $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x \cdot 9}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.2.2.2

Combine $\frac{x \cdot 9}{2}$ e $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$y = \frac{\frac{x \cdot 9 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{\frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{C + \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.1.3.2

Combine os termos opostos em $9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.3.2.1

Subtraia $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ de $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} + 0}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.1.3.2.2

Some $3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ e $0$ .

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.2.2

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Etapa 6.2.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.2.3.4

Multiplique $\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2 x}$