Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

Etapa 1.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Etapa 1.2.3

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Etapa 1.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Etapa 1.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.2.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.2.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.2.4.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Etapa 1.2.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Etapa 1.2.4.2

Some $- x$ e $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Etapa 1.2.4.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$