Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{9}$ .

$v = y^{- 8}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{8}}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{8}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 5.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.7

Combine $- 1$ e $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.9.2

Subtraia $8$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.11

Combine $\frac{1}{8}$ e $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.12

Mova $v^{- \frac{7}{8}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.14

Combine $\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 5.16

Multiplique $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5.17

Multiplique $v^{\frac{7}{8}}$ por $v^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.17.1

Mova $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

Etapa 5.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

Etapa 5.17.3

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

Etapa 5.17.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.17.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

Etapa 5.17.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

Etapa 5.17.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

Etapa 5.17.6

Some $2$ e $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{8}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ .

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ por $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ por $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $8 v^{\frac{9}{8}}$ de $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Multiplique $v^{- \frac{1}{8}}$ por $v^{\frac{9}{8}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.5.1

Mova $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.4

Subtraia $1$ de $9$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.5

Divida $8$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Simplifique $- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10

Combine $v$ e $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.11

Mova $8$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Multiplique $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.2.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2.2

Combine $- 9$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique $v^{- \frac{9}{8}}$ por $v^{\frac{9}{8}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Mova $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.4.4

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

Etapa 7.1.1.3.4.5

Divida $0$ por $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

Etapa 7.1.1.3.5

Simplifique $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $- \frac{8 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $- \frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{8}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

Integre $- \frac{8}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7.2.2.5

Simplifique.

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 8 \ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

Etapa 7.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 8}$

Etapa 7.2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{8}}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2.3

Combine $\frac{8}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.1

Multiplique $\frac{8 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.2.4.2.2

Some $1$ e $8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{x^{8}}$ e $- 8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

Etapa 7.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

Etapa 7.7.2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

Etapa 7.7.3.2

Mova $x^{8}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

Etapa 7.7.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{8})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.7.3.3.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

Etapa 7.7.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 8}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

Etapa 7.7.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.7.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.5.1.1

Combine $x^{- 7}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

Etapa 7.7.5.1.2

Mova $x^{- 7}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

Etapa 7.7.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

Etapa 7.7.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

Etapa 7.7.5.3.2

Combine $8$ e $\frac{1}{7 x^{7}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Etapa 7.8

Resolva $v$ .

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Etapa 7.8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1.1

Subtraia $\frac{8}{7 x^{7}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

Etapa 7.8.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Etapa 7.8.1.3

Combine $\frac{1}{x^{8}}$ e $v$ .

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Etapa 7.8.2

Mova todos os termos que não contêm $v$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1

Some $\frac{8}{7 x^{7}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

Etapa 7.8.2.2

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Etapa 7.8.3

Multiplique os dois lados por $x^{8}$ .

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Etapa 7.8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Etapa 7.8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Etapa 7.8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.8.4.2.1

Simplifique $(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

Etapa 7.8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{7}$ .

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Etapa 7.8.4.2.1.2.1

Fatore $x^{7}$ de $7 x^{7}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

Etapa 7.8.4.2.1.2.2

Fatore $x^{7}$ de $x^{8}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Etapa 7.8.4.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Etapa 7.8.4.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

Etapa 7.8.4.2.1.3

Combine $\frac{8}{7}$ e $x$ .

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

Etapa 7.8.4.2.1.4

Reordene $\frac{8 x}{7}$ e $C x^{8}$ .

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 8}$ por $v$ .

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$