Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = 1$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{- 6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{- 6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = 1$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 6}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 6}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 6 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 6}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{6}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{6}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{6}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{6 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.2.1

Multiplique $x$ por $x^{6}$ .

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $1$ e $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{x^{6}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1.1

Mova $x^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Etapa 7.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 6} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 6}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5} x^{- 5} + C$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $- \frac{1}{5} x^{- 5} + C$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}} + C$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{5} \cdot 5} + C$

Etapa 7.3.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1.1

Some $\frac{1}{5 x^{5}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{5 x^{5}} = C$

Etapa 8.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{5 x^{5}} - C = 0$

Etapa 8.1.3

Combine $\frac{1}{x^{6}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{5 x^{5}} - C = 0$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.2.1

Subtraia $\frac{1}{5 x^{5}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{5 x^{5}}$

Etapa 8.2.2

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{6}$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{1}{5 x^{5}} x^{6} + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ .

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Etapa 8.4.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5 x^{5}}$ para o numerador.

$y = \frac{- 1}{5 x^{5}} x^{6} + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Fatore $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} x^{6} + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.2.3

Fatore $x^{5}$ de $x^{6}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} (x^{5} x) + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} (x^{5} x) + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 1}{5} x + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.3

Combine $\frac{- 1}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{- x}{5} + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.4.2.1.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{5} + C x^{6}$

Etapa 8.4.2.1.4.2

Reordene $- \frac{x}{5}$ e $C x^{6}$ .

$y = C x^{6} - \frac{x}{5}$