Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d θ} + e^{y - θ} = 3 e^{y - θ}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{y - θ}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{y - θ}$ .

$\frac{d y}{d θ} + v = 3 v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d θ}$ ao diferenciar $e^{y - θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = e^{θ}$ e $g (θ) = y - θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y - θ$ .

$\frac{d v}{d θ} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{u_{1}} \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - θ$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} \frac{d}{d θ} [y - θ]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - θ$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [y] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (\frac{d}{d θ} [y] + \frac{d}{d θ} [- θ])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d θ} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' + \frac{d}{d θ} [- θ])$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- θ$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - \frac{d}{d θ} [θ])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d v}{d θ} = e^{y - θ} (y' - 1)$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{y - θ}$ .

$\frac{d v}{d θ} = v (y' - 1)$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} + 1 + v = 3 v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d v}{d θ}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} + v = 3 v - 1$

Etapa 5.1.1.2

Subtraia $v$ dos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} = 3 v - 1 - v$

Etapa 5.1.1.3

Subtraia $v$ de $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} = 2 v - 1$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} v = (2 v - 1) v$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d θ}}{v} v = (2 v - 1) v$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d θ} = (2 v - 1) v$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique $(2 v - 1) v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d θ} = 2 v \cdot v - 1 v$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.2.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 (v \cdot v) - 1 v$

Etapa 5.1.3.2.1.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 v^{2} - 1 v$

Etapa 5.1.3.2.1.3

Reescreva $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d θ} = 2 v^{2} - v$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = \frac{1}{2 v^{2} - v} (2 v^{2} - v)$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2 v^{2} - v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = \frac{1}{2 v^{2} - v} (2 v^{2} - v)$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} \frac{d v}{d θ} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{2 v^{2} - v} d v = 1 d θ$

Etapa 6

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 v^{2} - v} d v = \int d θ$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $v$ de $2 v^{2} - v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Fatore $v$ de $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (2 v) - v}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Fatore $v$ de $- v$ .

$\frac{1}{v (2 v) + v \cdot - 1}$

Etapa 6.2.1.1.1.3

Fatore $v$ de $v (2 v) + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (2 v - 1)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (2 v - 1)$ .

$\frac{1 (v (2 v - 1))}{v (2 v - 1)} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (2 v - 1))}{v (2 v - 1)} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 v - 1)}{2 v - 1} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $2 v - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 v - 1)}{2 v - 1} = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (2 v - 1))}{v} + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.1.2

Divida $A (2 v - 1)$ por $1$ .

$1 = A (2 v - 1) + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (2 v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 A v + A \cdot - 1 + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 2 A v - 1 \cdot A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.5

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = 2 A v - A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.6

Cancele o fator comum de $2 v - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.6.1

Cancele o fator comum.

$1 = 2 A v - A + \frac{B (v (2 v - 1))}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.6.2

Divida $B v$ por $1$ .

$1 = 2 A v - A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = 2 v A - A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7.2

Reordene $B$ e $v$ .

$1 = 2 v A - A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7.3

Mova $- A$ .

$1 = 2 v A + B v - A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 2 A + B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 2 A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = 2 A + B$

$1 = - 1 A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 1 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = 2 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = 2 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

$A = - 1$

$0 = 2 A + B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 2 A + B$ por $- 1$ .

$0 = 2 (- 1) + B$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

$0 = - 2 + B$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 2 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 2 A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 2, A = - 1$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{2}{2 v - 1}$

Etapa 6.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Etapa 6.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Etapa 6.2.4

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Etapa 6.2.5

Como $2$ é constante com relação a $v$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d θ$

Etapa 6.2.6

Deixe $u_{2} = 2 v - 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d v$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1

Deixe $u_{2} = 2 v - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1.1

Diferencie $2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

Etapa 6.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 v - 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.6.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2 v$ em relação a $v$ é $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.6.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 1$ em relação a $v$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 6.2.6.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 6.2.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d θ$

Etapa 6.2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.9.2.1

Cancele o fator comum.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.9.2.2

Reescreva a expressão.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.9.3

Multiplique $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d θ$

Etapa 6.2.11

Simplifique.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d θ$

Etapa 6.2.12

Reordene os termos.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d θ$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = θ + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = θ + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = θ + C$

Etapa 7.2

Reordene $θ$ e $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + θ$

Etapa 7.3

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + θ}$

Etapa 7.4

Reescreva $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + θ$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + θ} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Etapa 7.5

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + θ}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + θ}$

Etapa 7.5.2

Multiplique os dois lados por $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + θ} | v |$

Etapa 7.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1

Cancele o fator comum de $| v |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + θ} | v |$

Etapa 7.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| u_{2} | = e^{C + θ} | v |$

Etapa 7.5.4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.1

Reescreva a equação como $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$

Etapa 7.5.4.2

Divida cada termo em $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + θ}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.2.1

Divida cada termo em $e^{C + θ} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + θ}$ .

$\frac{e^{C + θ} | v |}{e^{C + θ}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Etapa 7.5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C + θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{C + θ} | v |}{e^{C + θ}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Etapa 7.5.4.2.2.1.2

Divida $| v |$ por $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Etapa 7.5.4.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reordene os termos.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ + C}}$

Etapa 8.2

Reescreva $e^{θ + C}$ como $e^{θ} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ} e^{C}}$

Etapa 8.3

Reordene $e^{θ}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{y - θ}$ .

$e^{y - θ} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - θ}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{y - θ})$ movendo $y - θ$ para fora do logaritmo.

$(y - θ) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - θ) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $y - θ$ por $1$ .

$y - θ = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}})$

Etapa 10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y - θ = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}})$

Etapa 10.4

Some $θ$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + θ}}) + θ$

Etapa 11

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 11.1

Reordene os termos.

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ + C}}) + θ$

Etapa 11.2

Reescreva $e^{θ + C}$ como $e^{θ} e^{C}$ .

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{θ} e^{C}}) + θ$

Etapa 11.3

Reordene $e^{θ}$ e $e^{C}$ .

$y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{θ}}) + θ$