Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Etapa 4.2.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Etapa 4.2.4.2

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Etapa 4.2.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{4}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Etapa 4.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $4$ de $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = - \frac{1}{3}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{1}{3}$ por $K$ em $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{1}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Use o teorema binomial.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.3

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $27$ por $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $2$ por $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.7

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.9

Multiplique $9$ por $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.11

Multiplique $4$ por $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.12

Multiplique $3$ por $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.13

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.14

Multiplique $8$ por $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.15

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.1.2

Fatore $3$ de $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.1.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.1.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.2

Combine $27$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.3

Combine $\frac{27}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $12$ de $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.5

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 5.2.4.5.1

Fatore $12$ de $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.5.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.5.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.6

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 5.2.4.6.1

Fatore $12$ de $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.4.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.7.2

Fatore $4$ de $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.7.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.7.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.4.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Etapa 5.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Etapa 5.5

Divida $3$ por $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$