Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{e^{y}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{3 x}{e^{y}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{3 x}{e^{y}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$e^{y} d y = 3 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y} d y = \int 3 x d x$

Etapa 2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$