Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (π) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \sin (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \cos (x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $π$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = - \cos (x) + K$ .

$2 = - \cos (π) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \cos (π) + K = 2$ .

$- \cos (π) + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- - \cos (0) + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + K = 2$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - 1 + K = 2$

Etapa 4.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 2 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$K = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $K$ em $y = - \cos (x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $K$ .

$y = - \cos (x) + 1$