Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 \cos (6 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 3 \cos (6 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 \cos (6 x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 \cos (6 x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int \cos (6 x) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 6 x$ . Depois, $d u = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 6 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 3 \int \cos (u) \frac{1}{6} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\cos (u)}{6} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{6} \int \cos (u) d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{6} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 (1)}{6} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (6 x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (6 x) + K$