Cálculo Exemplos

$t \frac{d y}{d t} + 2 y = 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ por $t$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} - \frac{2 y}{t}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 - 2 y}{t}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 - 2 y}$ .

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3 - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 - 2 y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 3 - 2 y$ . Depois, $d u = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 3 - 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $3 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - 2 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 2 y$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) = \ln (| t |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |)) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 3 - 2 y |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| 3 - 2 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 \ln (| t |) - 2 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |) = - 2 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| t |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln ({| t |}^{2}) = - 2 C$

Etapa 3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| t |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln (t^{2}) = - 2 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 y | t^{2}) = - 2 C$

Etapa 3.4.1.3

Reordene os fatores em $\ln (| 3 - 2 y | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (t^{2} | 3 - 2 y |)} = e^{- 2 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = t^{2} | 3 - 2 y |$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ .

$t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.2

Divida cada termo em $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ por $t^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Divida cada termo em $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Divida $| 3 - 2 y |$ por $1$ .

$| 3 - 2 y | = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Etapa 3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

Etapa 3.7.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$

Etapa 3.7.5

Divida cada termo em $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1

Divida cada termo em $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.7.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.7.5.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$