Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $0.04 y + 8000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 0.04 y + 8000$ . Depois, $d u = 0.04 d y$ , então, $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 0.04 y + 8000$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{0.04}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $0.04$ por $1$ .

$0.04$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Como $25$ é constante com relação a $u$ , mova $25$ para fora da integral.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ por $25$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ por $25$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ por $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $8000$ dos dois lados da equação.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ por $0.04$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ por $0.04$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $0.04$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Fatore $0.04$ de $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3.1.4

Separe as frações.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3.1.5

Divida $1$ por $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3.1.6

Divida $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ por $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

Etapa 3.4.4.3.1.7

Divida $- 8000$ por $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$