Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Etapa 1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Etapa 1.3.1.1.2

Divida $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $\tan (\frac{y}{x})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Combine $\sin (\frac{y}{x})$ e $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.3.2

Eleve $\sin (\frac{y}{x})$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.3.3

Eleve $\sin (\frac{y}{x})$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $\sin (\frac{y}{x})$ de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.2.2

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Etapa 1.3.2.3

Converta de $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ em $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Etapa 1.3.2.4

Divida $\sin (\frac{y}{x})$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Simplifique $V + \sin (V) \tan (V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1.1

Reescreva $\tan (V)$ em termos de senos e cossenos.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.1.2

Multiplique $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1.2.1

Combine $\sin (V)$ e $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.1.2.2

Eleve $\sin (V)$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.1.2.3

Eleve $\sin (V)$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.2.1

Fatore $\sin (V)$ de $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.2.2

Separe as frações.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.1.1.2.3

Converta de $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ em $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Etapa 6.1.1.1.1.2.4

Divida $\sin (V)$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Some $\sin (V) \tan (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Etapa 6.1.1.2.3

Reescreva $\tan (V)$ em termos de senos e cossenos.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.4

Multiplique $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.4.1

Combine $\sin (V)$ e $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.4.2

Eleve $\sin (V)$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.4.3

Eleve $\sin (V)$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.5

Fatore $\sin (V)$ de $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.6

Separe as frações.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Etapa 6.1.1.2.7

Converta de $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ em $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Etapa 6.1.1.2.8

Divida $\sin (V)$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $\sin (V) \tan (V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (V)}$ em $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.3

Reescreva $\tan (V)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.5

Converta de $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ em $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Como a derivada de $- \csc (V)$ é $\cot (V) \csc (V)$ , a integral de $\cot (V) \csc (V)$ é $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Divida cada termo em $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.2.2

Divida $\csc (V)$ por $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 6.3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Etapa 6.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Etapa 6.3.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro da cossecante.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$