Cálculo Exemplos

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 3 y + 3 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Some $0$ e $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x + 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $6 y + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y + 3 = 2 y + 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$6 y + 3 = 2 y + 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $6 y + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x + 2 x y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x + 2 x y$ por $N$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $6 y$ .

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $2$ de $4 y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $2$ de $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.6.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.2.6.3

Fatore $2$ de $2 (2 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $x + 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

Etapa 4.3.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ e $1 + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Reordene os termos.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Etapa 4.3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Etapa 5.4.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ pelo fator de integração $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $3 + 3 y + 3 y^{2}$ por $x^{2}$ .

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x + 2 x y$ por $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.5.2

Some $1$ e $2$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Mova $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

Etapa 6.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

Etapa 6.6.3

Some $2$ e $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Etapa 8.3

Como $2 x^{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x^{3}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Etapa 8.6.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.4.3

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $3 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $3 x^{2} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $3 y x^{2}$ e $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 12.1.3.2

Subtraia $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 12.1.3.3

Some $3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 12.1.3.4

Reorganize os fatores nos termos $3 y^{2} x^{2}$ e $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 12.1.3.5

Subtraia $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Etapa 12.1.3.6

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $3 x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 13.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Etapa 13.5.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$