Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{t}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{t}$ para $y$ .

$y = V t$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V t$ com relação a $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Etapa 4

Substitua $t \frac{d V}{d t} + V$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d t}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Subtraia $V$ de $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ por $t$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Etapa 5.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Etapa 5.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2 V + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Etapa 5.1.2.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Etapa 5.1.2.2.3

Fatore $2$ de $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Etapa 5.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $- V + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Fatore $- V + 1$ de $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Etapa 5.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Etapa 5.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Etapa 5.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Deixe $u = - V + 1$ . Depois, $d u = - d V$ , então, $- d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Deixe $u = - V + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Etapa 5.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 5.2.3.2

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Etapa 5.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| t |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Etapa 5.3.2.1.2

Remova o valor absoluto em ${| t |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Etapa 5.3.3

Some $\ln (t^{2})$ aos dois lados da equação.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Etapa 5.3.4.2.2

Divida $\ln (| - V + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Etapa 5.3.4.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Etapa 5.3.4.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ como $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Etapa 5.3.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Etapa 5.3.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Etapa 5.3.7

Reordene os fatores em $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Etapa 5.3.8

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Etapa 5.3.9

Reescreva $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Etapa 5.3.10

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1

Reescreva a equação como $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Etapa 5.3.10.2

Divida cada termo em $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ por $t^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.2.1

Divida cada termo em $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Etapa 5.3.10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.2.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Etapa 5.3.10.2.2.1.2

Divida $| - V + 1 |$ por $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Etapa 5.3.10.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Etapa 5.3.10.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Etapa 5.3.10.5

Divida cada termo em $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.5.1

Divida cada termo em $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.10.5.2.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.10.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.10.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ como $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.10.5.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Etapa 5.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Etapa 5.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{t}$ por $V$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{t^{2}}$ e $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Etapa 7.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Etapa 7.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{C}{t^{2}}$ para o numerador.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Etapa 7.2.2.1.3.2

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Etapa 7.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Etapa 7.2.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Etapa 7.2.2.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.4.1

Multiplique $t$ por $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Etapa 7.2.2.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Etapa 7.2.2.1.4.3

Reordene $- \frac{C}{t}$ e $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$