Cálculo Exemplos

$2 x^{2} y d x = (3 x^{3} + y^{3}) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $(3 x^{3} + y^{3}) d y$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Etapa 2.2

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2} y$ em relação a $y$ é $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (3 x^{3} + y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{3} + y^{3})]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (3 x^{3} + y^{3})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Etapa 3.7

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + 0)$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2})$

Etapa 3.8.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 9 x^{2}$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 9 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 9 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $2 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $2 x^{2} y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $2 x^{2} y$ por $M$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $- 9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 1 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.2.3

Subtraia $2$ de $- 9$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 11}{2 y}$

Etapa 5.3.4

Substitua $2 x^{2} y$ por $M$ .

$- \frac{11}{2 y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

Etapa 6.2

Como $\frac{11}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{11}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ .

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Etapa 6.5.1.1

Reordene $\ln (| y |)$ e $\frac{11}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

Etapa 6.5.1.2

Simplifique $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ movendo $\frac{11}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

Etapa 6.5.2

Simplifique $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 6.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 6.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 6.5.4.2

Multiplique $\frac{11}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.5.4.2.1

Combine $\frac{11}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

Etapa 6.5.4.2.2

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

Etapa 6.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

Etapa 6.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2 x^{2} y$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{2} y \frac{2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2.3

Combine $y$ e $\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 2)}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.3

Mova $y^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $y^{\frac{11}{2}}$ por $y^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.4.5.2

Subtraia $2$ de $11$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $- (3 x^{3} + y^{3})$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- (3 x^{3}) - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- 3 x^{3} - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $- 3 x^{3} - y^{3}$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 3 x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.10

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.11

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - (y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.12

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{3}) - (y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.13

Reescreva $- (3 x^{3} + y^{3})$ como $- 1 (3 x^{3} + y^{3})$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 1 (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{2} d x$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 3} x^{3} + C$

Etapa 9.3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $3$ por $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Etapa 9.3.2.4

Combine $\frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $\frac{2 x^{3}}{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ em relação a $y$ é $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ como ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.5.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.9.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.10

Combine $\frac{9}{2}$ e $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.11

Combine $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ e $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12

Multiplique $y^{\frac{7}{2}}$ por $y^{- 9}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.12.1

Mova $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.3

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.4

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.12.6.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.6.2

Some $- 18$ e $7$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.12.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.13

Mova $y^{- \frac{11}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.14

Multiplique $\frac{2 x^{3}}{3}$ por $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{3} \cdot 9}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.15

Multiplique $9$ por $2$ .

$- \frac{18 x^{3}}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.16

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{18 x^{3}}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.17

Fatore $6$ de $18 x^{3}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.18.1

Fatore $6$ de $6 y^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.18.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.3.18.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Etapa 13.1.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{3} + 3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.1.2

Some $- 3 x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.1.3

Some $0$ e $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.2.1

Mova $y^{3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 3}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2

Multiplique $y^{\frac{11}{2}}$ por $y^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1.2.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 6}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.1.2.2.5.2

Subtraia $6$ de $11$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Etapa 14.4

Mova $y^{\frac{5}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = - \int {(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d y$

Etapa 14.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 14.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d y$

Etapa 14.5.2

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 14.5.2.1

Combine $\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d y$

Etapa 14.5.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{- 5}{2}} d y$

Etapa 14.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - \int y^{- \frac{5}{2}} d y$

Etapa 14.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{5}{2}}$ com relação a $y$ é $- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}} + C)$

Etapa 14.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.7.1

Simplifique.

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Etapa 14.7.1.1

Combine $y^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$g (y) = - (- \frac{y^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Etapa 14.7.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 \cdot y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Etapa 14.7.1.3

Multiplique $2$ por $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Etapa 14.7.1.4

Mova $y^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C)$

Etapa 14.7.2

Simplifique.

$g (y) = - - \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 14.7.3

Simplifique.

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Etapa 14.7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 14.7.3.2

Multiplique $\frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$g (y) = \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$