Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sin (y) + y \cos (y)$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique $2 \log (e^{x})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1.2.1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Simplifique.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.2.1

Some $- \cos (y)$ e $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $y \sin (y)$ e $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $x \log (e^{2 x}) + 1$ como $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Etapa 2.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Etapa 2.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Etapa 2.3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Etapa 2.3.4

Como $2 \log (e)$ é constante com relação a $x$ , mova $2 \log (e)$ para fora da integral.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.4

Reordene os termos.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$