Cálculo Exemplos

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Multiplique $1$ por $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y + 2 x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Etapa 3.4

Some $0$ e $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = 2$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $1$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $1$ por $M$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Etapa 5.3.2

Divida $2 + 0$ por $1$ .

$2 + 0$

Etapa 5.3.3

Substitua $1$ por $M$ .

$2$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int 2 d y}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Etapa 6.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $d x + (y + 2 x) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{2 y}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $1$ por $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $y + 2 x$ por $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = e^{2 y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 y} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{2 y} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 y$ .

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Etapa 12.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 12.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $2 x e^{2 y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

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Etapa 13.1.2.1

Subtraia $2 x e^{2 y}$ de $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Etapa 13.1.2.2

Some $y e^{2 y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $y e^{2 y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Etapa 14.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Etapa 14.4

Simplifique.

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Etapa 14.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Etapa 14.4.2

Combine $y$ e $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Etapa 14.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Etapa 14.6

Remova os parênteses.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Etapa 14.7

Deixe $u = 2 y$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 14.7.1

Deixe $u = 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 14.7.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 14.7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 14.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 14.7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 14.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 14.8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 14.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 14.10

Simplifique.

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Etapa 14.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 14.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 14.11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 14.12

Reescreva $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 14.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Etapa 16

Simplifique $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Etapa 16.1.2

Combine $\frac{y}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Etapa 16.1.3

Combine $e^{2 y}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.2

Subtraia $\frac{e^{2 y}}{4}$ de $e^{2 y} x$ .

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Etapa 16.2.1

Reordene $e^{2 y}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.2.2

Para escrever $x e^{2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.2.3

Combine $x e^{2 y}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.3.2

Fatore $e^{2 y}$ de $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

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Etapa 16.3.2.1

Fatore $e^{2 y}$ de $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Etapa 16.3.2.2

Fatore $e^{2 y}$ de $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Etapa 16.3.2.3

Fatore $e^{2 y}$ de $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.4

Para escrever $\frac{y e^{2 y}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.5.1

Multiplique $\frac{y e^{2 y}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.7.1

Fatore $e^{2 y}$ de $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

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Etapa 16.7.1.1

Fatore $e^{2 y}$ de $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.7.1.2

Fatore $e^{2 y}$ de $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Etapa 16.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$