Cálculo Exemplos

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = y^{3} - x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.3

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.4

Some $3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.6

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

Etapa 2.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Multiplique $y^{3} - x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

Etapa 2.8.2

Some $3 y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3} + x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

Etapa 3.3.7

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Multiplique $y^{3} + x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

Etapa 3.3.7.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $4 y^{3} - x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y^{3} + 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $y^{3} + 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $4 y^{3} - x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $y (y^{3} - x)$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $y (y^{3} - x)$ por $M$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia $4 y^{3}$ de $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.5

Some $2 x$ e $x$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.6

Fatore $3$ de $- 3 y^{3} + 3 x$ .

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Etapa 5.3.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.6.2

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.2.6.3

Fatore $3$ de $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ .

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $- y^{3} + x$ e $y^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (y^{3}) - 1 (- x)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.3.4

Reescreva $- (y^{3} - x)$ como $- 1 (y^{3} - x)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Etapa 5.3.5

Substitua $y (y^{3} - x)$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y (y^{3} - x)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $y^{3} - x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x (y^{3} + x)$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x y^{3} + x^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.8

Fatore $x$ de $x y^{3} + x^{2}$ .

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Etapa 7.8.1

Fatore $x$ de $x y^{3}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.8.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.8.3

Fatore $x$ de $x (y^{3}) + x \cdot x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $\frac{1}{y^{2}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{y^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

Etapa 9.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

Etapa 9.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

Etapa 9.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

Etapa 9.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Etapa 9.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ .

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Etapa 12.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ e $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.6

Como $- \frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.7

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.10

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.11

Some $3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.12

Combine $3$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.13

Combine $x$ e $\frac{3}{y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.14

Combine $\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.15

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.16

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.16.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.16.2

Divida $3 x$ por $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.17

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.17.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.17.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.18

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.19

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.3.21

Subtraia $4$ de $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3

Combine os termos.

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Etapa 12.5.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.3

Combine $y^{3}$ e $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.4

Combine $x$ e $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ .

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.7

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 12.5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.7.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.9

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.12

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.13

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.14

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.5.3.15.1

Cancele o fator comum.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.15.2

Reescreva a expressão.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.3.16

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 12.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.3.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ .

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Etapa 13.1.4.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.4.2

Some $- x y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Etapa 13.1.5.2

Divida $- x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

Etapa 13.1.6

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} + x - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Etapa 13.1.6.2

Some $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 14.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 14.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 16

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

Etapa 16.2

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Fatore $x$ de $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1.1

Fatore $x$ de $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3.1.2

Fatore $x$ de $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3.1.3

Fatore $x$ de $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3.2

Para escrever $y^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3.3

Combine $y^{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 16.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 16.4

Combine $x$ e $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 16.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 16.6

Combine.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

Etapa 16.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$